अध्याय-5

कक्षा 6 गणित अध्याय-5

प्रारंभिक आकारों को समझना

परिचय

हमारे चारों ओर बहुत सी आकृतियाँ हैं जो रेखाओं और वक्रों से बनी हैं जैसे रेखाखंड, कोण, त्रिभुज, बहुभुज और वृत्त आदि। ये आकृतियाँ विभिन्न आकारों और मापों की होती हैं।

रेखा खंडों को मापना

एक रेखा खंड रेखा का एक निश्चित भाग होता है, इसलिए इसकी कुछ लंबाई होनी चाहिए। हम किसी भी रेखाखंड की उसकी लंबाई के आधार पर तुलना कर सकते हैं।

अवलोकन द्वारा तुलना

हम केवल दो रेखाखंडों को देखकर ही बता सकते हैं कि कौन सा रेखाखंड दूसरे से बड़ा है, लेकिन यह निश्चित नहीं है।

यहाँ हम स्पष्ट रूप से कह सकते हैं कि AB > CD लेकिन कभी-कभी यह बताना कठिन होता है कि कौन सा बड़ा है

अनुरेखण द्वारा तुलना

इस विधि में हमें एक लाइन को कागज पर ट्रेस करना होता है फिर ट्रेस किए गए लाइन सेगमेंट को दूसरी लाइन पर यह जांचने के लिए रखना होता है कि कौन सी बड़ी है।

लेकिन यह एक कठिन तरीका है क्योंकि हर बार लाइन सेगमेंट के अलग-अलग आकार को मापने के लिए हमें एक अलग लाइन सेगमेंट बनाना पड़ता है।

रूलर और डिवाइडर का उपयोग करके तुलना

हम एक रेखाखंड की लंबाई मापने के लिए रूलर का उपयोग कर सकते हैं।

बिंदु A पर शून्य का निशान लगाएं और फिर रेखा खंड की लंबाई मापने के लिए l की ओर बढ़ें, लेकिन रूलर की मोटाई के आधार पर इसमें कुछ त्रुटियां हो सकती हैं।

इसे डिवाइडर का उपयोग करके सटीक बनाया जा सकता है।

विभक्त के एक सिरे को बिंदु A पर रखें और दूसरे सिरे को बिंदु B पर रखने के लिए इसे खोलें।
अब डिवाइडर को बिना किसी रुकावट के उठाएं और इसे रूलर पर इस तरह रखें कि एक सिरा “0” पर हो।
दूसरे छोर पर अंकन पढ़ें और हम दो पंक्तियों की तुलना कर सकते हैं।

कोण – “दाएं” और “सीधे”

हम दिशाओं द्वारा समकोण और सीधे कोण की अवधारणा को समझ सकते हैं।

चार दिशाएँ हैं- उत्तर, दक्षिण, पूर्व और पश्चिम

जब हम उत्तर से पूर्व की ओर बढ़ते हैं तो यह 90° का कोण बनाता है जिसे समकोण कहते हैं।

जब हम उत्तर से दक्षिण की ओर बढ़ते हैं तो यह 180° का कोण बनाता है जिसे स्ट्रेट एंगल कहा जाता है।

जब हम चार समकोणों को एक ही दिशा में घुमाते हैं तो हम फिर से उसी स्थिति में पहुँच जाते हैं अर्थात यदि हम उत्तर से दक्षिणावर्त मुड़कर फिर उत्तर की ओर पहुँचते हैं तो यह 360° का कोण बनाता है जिसे पूर्ण कोण कहा जाता है। इसे कहते हैं एक क्रांति।

एक घड़ी में दो हाथ यानि मिनट की सुई और घंटे की सुई होती है, जो हर मिनट में दक्षिणावर्त चलती है। जब घड़ी की सुई एक स्थिति से दूसरी स्थिति में जाती है तो एक कोण से घूमती है।

जब एक हाथ 12 से शुरू होकर फिर 12 तक पहुँचता है तो इसे पूर्ण क्रांति कहा जाता है।

तीव्र, अधिक और प्रतिवर्ती कोण

और भी कई प्रकार के कोण हैं जो समकोण या सीधे कोण नहीं हैं।

मापने के कोण

एक कोण का अवलोकन करके हम केवल कोण का प्रकार प्राप्त कर सकते हैं लेकिन इसकी ठीक से तुलना करने के लिए हमें इसे मापने की आवश्यकता होती है।

एक कोण को ” डिग्री ” में मापा जाता है। एक पूर्ण क्रांति को 360 बराबर भागों में बांटा गया है इसलिए प्रत्येक भाग एक डिग्री है। हम इसे 360° के रूप में लिखते हैं और “तीन सौ साठ डिग्री” के रूप में पढ़ते हैं।

हम उपयोग करने के लिए तैयार डिवाइस का उपयोग करके कोण को माप सकते हैं जिसे प्रोटैक्टर कहा जाता है।

इसका एक घुमावदार किनारा है जो 180 बराबर भागों में विभाजित है। यह 0° से 180° तक दाएं से बाएं और इसके विपरीत शुरू होता है।

प्रोट्रैक्टर से कोण नापने के लिए-

चाँदे को कोण पर इस प्रकार रखें कि चाँदे का मध्यबिंदु कोण के शीर्ष B पर आए।
इसे इस प्रकार समायोजित करें कि रेखा BC चाँदे की सीधी रेखा पर आ जाए।
वह पैमाना पढ़िए जो रेखा BC से मेल खाते हुए 0° से प्रारंभ होता है।
वह बिंदु जहां रेखा AB चांदा पर आती है, कोण का डिग्री माप है।

अत: ABC = 72°

लम्बवत रेखायें

यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं और 90° का कोण बनाती हैं तो वे एक-दूसरे के लंबवत होनी चाहिए।

यहाँ AB और MN बिंदु N पर प्रतिच्छेद करते हैं और एक समकोण बनाते हैं। हम इसे इस प्रकार लिखेंगे

एबी एमएन या एमएन एबी

पढ़ता है क्योंकि AB, MN पर लंबवत है या MN, AB पर लंबवत है।

दंडवत द्विभाजक

यदि एक लम्ब दूसरी रेखा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है तो वह उस रेखा का लम्ब समद्विभाजक कहलाता है।

यहाँ, CD AB का लम्ब समद्विभाजक है क्योंकि यह AB को दो बराबर भागों में विभाजित करता है अर्थात AD = DB

त्रिभुजों का वर्गीकरण

त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक बहुभुज है। यह सबसे कम भुजाओं वाला बहुभुज है। हर त्रिभुज अलग-अलग आकार और आकार का होता है। हम उन्हें उनकी भुजाओं और कोणों के आधार पर वर्गीकृत करते हैं।