अध्याय-8
कक्षा 6 गणित अध्याय-8
दशमलव
दशमलव
दशमलव एक ऐसा छोटा सा संकेत है जो किसी भी संख्या से भाग देने पर प्राप्त होता है।
दशमलव को ( . ) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता हैं।
परिभाषा
संख्या प्रणाली में, दशमलव को एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। वे संख्याएँ जिनमें बिंदु होता है, दशमलव संख्याएँ कहलाती हैं। उदाहरण – 12.34, 3.789, 0.2561, 1679.098, आदि। कक्षा 7 में, हम दशमलव संख्याओं की विभिन्न संक्रियाओं और गुणों का अध्ययन करेंगे।
दशमलव को किसी भी संख्या में कैसे लगाया जा सकता है। स्थानीय मान तालिका की सहायता से, आइए इसे याद करते हैं।
उपरोक्त स्थानीय मान तालिका में दिए गए उदाहरणों से हम समझ सकते हैं कि हम दशमलव को संख्याओं में कैसे लगाते हैं। अंकों का स्थानीय मान दर्शाता है कि दशमलव को कहाँ लगाया जाएगा। हम देख सकते हैं कि हम दशमलव को इकाई और दशांश के बीच में लगाते हैं।
यदि हम उपरोक्त उदाहरणों को प्रसारित रूप में लिखें तो हम इसे स्पष्ट रूप से समझ सकते हैं।
753.8216 = 7×100 + 5×10 + 3×1 + 8×(1/10) + 2×(1/100) + 1×(1/1000) + 6×(1/10000)
= 700 + 50 + 3 + 0.8 + 0.02 + 0.001 + 0.0006
= 753 + 0.8216
= 753.8216
उपरोक्त उदाहरण में, हम दशमलव संख्या को सात सौ तिरपन दशमलव आठ दो एक छः के रूप में पढ़ते है। दशमलव के बाद, हम अलग-अलग अंक पढ़ते हैं।
कुछ महत्वपूर्ण बिंदु
(1) विभाजन प्रक्रिया में, कभी-कभी हमें दशमलव संख्याएँ प्राप्त होती हैं यदि संख्या पूरी तरह से विभाज्य नहीं होती है।
उदाहरण – (1) 10 ÷ 4 = 2.5 (2) 250 ÷ 3 = 83.33
(2) जब हम एक छोटी इकाई को बड़ी इकाई में बदलते हैं तो हमें एक दशमलव संख्या प्राप्त होती है।
उदाहरण – (1) 50 मीटर को किलोमीटर में बदलें।
हल – हम जानते हैं कि 1 किमी = 1000 मीटर
तो 50/1000 किमी = 0.050 किमी उत्तर
उदाहरण – (2) 325 पैसे में कितने रुपये होते हैं।
हल – चूँकि 1 रुपया = 100 पैसे
इसलिए, 325/100 रुपये = 3.25 रुपये उत्तर
जैसे : 25 में यदि 10 से भाग करेगें तो संख्या के दाहिने तरफ से एक अंक पहले दशमलव का चिन्ह ( . ) लगा देते हैं।
उदाहरण :
25 ÷ 10 = 2.5
35 ÷ 100 = 0.35
48 ÷ 1000 = 0.048
54 ÷ 10,000 = 0.0054
दस का गुणोत्तर = 100, 1000, 10000, 100000
दशमलव पद्धति या दाशमिक संख्या पद्धति या दशाधार संख्या पद्धति (decimal system, “base ten” or “denary”) वह संख्या पद्धति है जिसमें गिनती/गणना के लिये कुल दस अंकों या ‘दस संकेतों’ (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) का सहारा लिया जाता है। यह मानव द्वारा सर्वाधिक प्रयुक्त संख्यापद्धति है।
उदाहरण के लिये 645.7 दशमलव पद्धति में लिखी एक संख्या है।
दशमलव भिन्न
SI उपसर्ग
दशमलव संख्याओं की तुलना, जोड़ और घटाव
दशमलव संख्याओं की तुलना में, हम पहले दशमलव के बाईं ओर के अंकों की तुलना करते हैं, यदि अंक समान हैं तो हम दशमलव के दाईं ओर के अंकों की तुलना करते हैं। हम एक उदाहरण लेते हैं।
उदाहरण – 746.236 और 746.195 की तुलना कीजिये।
हल – दशमलव के बाईं ओर, तीनों अंक समान हैं। दशमलव के दायीं ओर, दशांश स्थान पर अंक समान नहीं हैं इसलिए हम इन दो अंकों की तुलना करेंगे।
यहां 2 > 1
इसलिए, 746.236 > 746.195 उत्तर
नोट – यदि दशांश स्थान के अंक भी समान हों तो हम शतांश स्थान के अंकों की तुलना करते हैं और इसी प्रकार आगे भी करते है।
दशमलव संख्याओं के योग में, हम संख्याओं को साधारण जोड़ के रूप में जोड़ते हैं। केवल दशमलव का स्थान ध्यान में रखना होता है। हम संख्याओं को लिखते समय, दशमलव बिंदु को दशमलव के नीचे रखते हैं और फिर जोड़ते हैं। इसे एक उदाहरण से समझते हैं।
उदाहरण – सिद्धि के पास दो केक हैं, जिनमें से प्रत्येक का वजन 896.341 ग्राम और 201.98 ग्राम है। दोनों केक का कुल वजन ज्ञात कीजिए।
दोनों केक का कुल वजन = 1098.321 ग्राम
दशमलव का जोड़ना
इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने से पहले सभी संख्याओं के दशमलव के बाद के अंकों को बराबर कर लिया जाता हैं। फिर जोड़ना के साधारण नियम से जोड़ देते हैं।
दशमलव का घटाना
इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए सबसे पहले दशमलव के बाद वाली संख्याओं को घटाते हैं।
अर्थात इकाई अंक की संख्याओं से घटाना शुरू करते हैं उसके बाद दशमलव के पहले वाली संख्याओ को घटाते हैं।
प्राप्त उत्तर को संख्याओं में दिए गए दशमलव के अनुसार ही लिखा जाता हैं।
दशमलव संख्याओं के घटाव में, हम जोड़ के समान ही घटाते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।
उदाहरण – लावण्या के पास 525.50 रुपये और 450.75 रुपये कीमत के दो स्कूल बैग हैं। दोनों स्कूल बैग की कीमत का अंतर ज्ञात कीजिए।
हल –
दोनों स्कूल बैग की कीमत का अंतर = 74.75 रुपये उत्तर
दशमलव का गुणा
दशमलव संख्याओं को गुणा करने के लिए अधिक अंक वाली संख्या को कम अंक वाली संख्या के ऊपर लिखे।
जैसे :- माना आपको 0.52 को 0.04 से गुणा करना हैं। तो आपको केवल एक दशमलव संख्या को दूसरी दशमलव संख्या के नीचे लिखने की जरूरत पड़ेगी।
जब आपको संख्याओं का गुणा करगें तो प्राप्त उत्तर को संख्याओं के नीचे लाइन खींच कर लिख सकते हैं।
एक दशमलव संख्या का दूसरी दशमलव संख्या से गुणा
दो दशमलव संख्याओं का गुणा दो पूर्ण संख्याओं के गुणा के समान ही होता है। जब हम दो दशमलव संख्याओं को गुणा करते हैं, तो हम दशमलव को एक क्षण के लिए अनदेखा कर सकते हैं और उन्हें पूर्ण संख्याओं के रूप में गुणा कर सकते हैं। पूरा गुणा होने के बाद, हम दशमलव को उत्तर में लगाते हैं। हम दशमलव को कैसे लगायेंगे? आइए एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।
उदाहरण – 1) 6.3 और 1.2 को गुणा कीजिये।
हल –
इस उदाहरण में, 6.3 और 1.2 दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद अंकों की संख्या 1 और 1 है, इसलिए उत्तर में, दशमलव के बाद के अंक 2(1+1) होंगे। इसलिए, हम दशमलव को अंकों 56 से पहले लगाते हैं।
उदाहरण – 2) 45.34 और 2.7 का गुणा कीजिये।
हल –
दशमलव के बाद 45.34 और 2.7 में अंकों की संख्या = 2 और 1
तो, उत्तर में दशमलव के बाद अंकों की संख्या 3(2+1) होगी। इसलिए, हम दशमलव को अंकों 418 से पहले लगाते हैं।
दशमलव संख्या का पूर्ण संख्या से गुणा
यह गुणा उपरोक्त गुणा के समान ही होता है। इस गुणा में हम दशमलव संख्या के दशमलव के अनुसार उत्तर में दशमलव लगाते हैं क्योंकि दूसरी संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
उदाहरण – नैनीश के पास 7.5 मीटर लंबाई की 3 रस्सियाँ हैं। सभी 3 रस्सियों की लंबाई क्या होगी?
हल – सभी 3 रस्सियों की लंबाई, प्रत्येक रस्सी की लंबाई के साथ 3 का गुणा होगी।
इसलिए, सभी 3 रस्सियों की लंबाई 22.5 मीटर है। उत्तर
इस उदाहरण में, दशमलव संख्या 7.5 है, और दशमलव के बाद अंकों की संख्या एक है। अतः उत्तर में दशमलव के बाद अंकों की संख्या भी एक होगी। इसलिए, हम दशमलव को अंक 5 से पहले लगाते हैं।
एक दशमलव संख्या का 10 के गुणज से गुणा (10, 100, 1000)
जब किसी दशमलव संख्या को 10 के गुणज जैसे 10, 100, 1000, 10000 आदि से गुणा किया जाता है, तो दशमलव को 0 की संख्या के आधार पर दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। उदाहरण आपको इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।
उदाहरण – 9.7614 को 10, 100 और 1000 से गुणा कीजिये।
हल – 9.7614×10 = 97.614
9.7614×100 = 976.14
9.7614×1000 = 9761.4 उत्तर
जब हम किसी दशमलव संख्या को 10 से गुणा करते हैं, तो दशमलव को एक अंक दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 10 में 0 की संख्या एक होती है।
9.7614×10 = 97.614
जब हम किसी दशमलव संख्या को 100 से गुणा करते हैं, तो दशमलव को दो अंक दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 100 में 0 की संख्या दो होती है।
9.7614×100 = 976.14
जब हम किसी दशमलव संख्या को 1000 से गुणा करते हैं, तो दशमलव को तीन अंक दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 1000 में 0 की संख्या तीन होती है।
9.7614×1000 = 9761.4
नोट – यदि दशमलव संख्या में दशमलव को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो हम 0 को अंकों के रूप में उपयोग करते हैं। उदाहरण- 3.27×1000 = 3270.0
दशमलव का भाग
दशमलव संख्याओं में भाग करने से पहले यह देखते हैं कि भाज्य में कितने अंकों के पहले दशमलव बिंदु हैं। तथा भाजक में कितने अंकों के पहले दशमलव बिंदु हैं। दोनों का अंतर निकालना पढ़ता हैं।
यदि भाज्य के दशमलव अंकों की संख्या भाजक के दशमलव अंकों की संख्या से अधिक हो तो भागफल में दोनों के अंतर के बराबर अंक दाएं से बाएं की ओर छोड़कर दशमलव बिंदु लगा देते हैं।
उसी प्रकार यदि भाजक के दशमलव अंक की संख्या अधिक होने पर भागफल में (दाएं) इनके अंतर के बराबर शून्य लगा देते हैं।
दशमलव संख्याओं का विभाजन
एक दशमलव संख्या का 10 के गुणज से भाग (10, 100, 1000)
जब हम किसी दशमलव संख्या को 10 के गुणज जैसे 10, 100, 1000, 10000 इत्यादि से विभाजित करते हैं, तो दशमलव को 0 की संख्या के आधार पर बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।
उदाहरण – 3427.29 को 10, 100 और 1000 से भाग दीजिये।
हल – 3427.29 ÷ 10 = 342.729
3427.29 ÷ 100 = 34.2729
3427.29 ÷ 1000 = 3.42729 उत्तर
जब हम किसी दशमलव संख्या को 10 से विभाजित करते हैं, तो दशमलव को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 10 में 0 की संख्या एक होती है।
3427.29 ÷ 10 = 342.729
जब हम एक दशमलव संख्या को 100 से विभाजित करते हैं, तो दशमलव को दो अंक बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 100 में 0 की संख्या दो होती है।
3427.29 ÷ 100 = 34.2729
जब हम किसी दशमलव संख्या को 1000 से विभाजित करते हैं, तो दशमलव को तीन अंक बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 1000 में 0 की संख्या तीन होती है।
3427.29 ÷ 1000 = 3.42729
नोट – यदि दशमलव संख्या में दशमलव को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो हम 0 को अंकों के रूप में उपयोग करते हैं। उदाहरण – 99.35 ÷ 1000 = 0.09935
एक दशमलव संख्या का एक पूर्ण संख्या से विभाजन
दशमलव संख्या को पूर्ण संख्या से विभाजन में, हम दशमलव संख्या को भिन्न में और भाग चिह्न को गुणा में परिवर्तित करते हैं और पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम लिखते हैं, और फिर गुणा करते हैं।
उदाहरण – 55.2 को 4 से भाग दीजिये।
हल – 55.2 ÷ 4 = (552/10) × ¼ = 552/10×4 = 138/10 = 13.8 उत्तर
नोट – हम दशमलव को हटाकर दशमलव संख्याओं को भिन्नों में बदलते हैं। दशमलव के स्थान पर हम हर में 1 लिखते हैं और दशमलव के बाद अंकों की संख्या के आधार पर हर में 0 लिखते हैं। उदाहरण – 16.25 = 1625/100
एक पूर्ण संख्या का दशमलव संख्या से विभाजन
उपरोक्त विभाजन के समान ही, हम दशमलव संख्या को भिन्न में और भाग चिह्न को गुणा में परिवर्तित करते हैं। फिर हम भिन्न का व्युत्क्रम लिखते हैं और गुणा करते हैं
उदाहरण – 35 को 0.5 से भाग दीजिये।
हल – 35 ÷ 0.5 = 35 ÷ 5/10 = 35×10/5 = 7×10 = 70 उत्तर
नोट – यदि हमें दशमलव संख्या को भिन्न में बदलना है और दशमलव संख्या हर में लिखी है तो दशमलव के स्थान पर हम अंश में 1 लिखते हैं और दशमलव के बाद अंकों की संख्या के आधार पर अंश में 0 लिखते हैं। उदाहरण – 1/16.25 = 100/1625
एक दशमलव संख्या को दूसरी दशमलव संख्या से विभाजित करना
एक दशमलव संख्या को दूसरी दशमलव संख्या से विभाजन में, पहले हम दोनों दशमलव संख्याओं को भिन्नों में परिवर्तित करते हैं। उसके बाद हम भाग के चिन्ह को गुणा में बदलते हैं और भाजक भिन्न का व्युत्क्रम लिखते हैं और फिर गुणा करते हैं।
उदाहरण – 40.5 को 0.15 से भाग दीजिये।
हल – 40.5 ÷ 0.15
405/10 ÷ 15/100 = (405/10) × (100/15) = 4050/15 = 270 उत्तर
नोट – दशमलव संख्याओं के विभाजन में, यदि दशमलव के बाद के अंकों की संख्या, दोनों संख्याओं में बराबर हो तो हम दशमलव को अनदेखा करके उन संख्याओं को पूर्ण संख्याओं के रूप में विभाजित कर सकते हैं। उदाहरण – 3.6 ÷ 1.2 = 36/12 = 3